VIX Index – Volatility formula explained

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect For Beginners and Middle-Leveled Traders!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Good Broker For Experienced Traders!

Contents

VIX Calculation Explained

The objective of this page is to explain the logic of VIX calculation and some of the underlying assumptions and parameters. Exact formulas are available in a short pdf named VIX White Paper on the official website of CBOE.

If you are not familiar with VIX, you may first want to see a more basic explanation: What is VIX?

VIX Calculation: The Big Picture

VIX is interpreted as annualized implied volatility of a hypothetical option on S&P500 with 30 days to expiration, based on the prices of near-term S&P500 options traded on CBOE.

Contrary to what many people believe, the VIX is not calculated using Black-Scholes or any other option pricing model. There is a formula which directly derives variance from the whole set of prices of options with the same time to expiration. Two different variances for two different expirations are then interpolated to get 30-day variance. This variance is then transformed into standard deviation (by taking the square root) and multiplied by 100.

VIX Calculation Step by Step

  • Select the options to be included in VIX calculation – a range of call and put strikes in two consecutive expirations around the target 30-day mark.
  • Calculate each option’s contribution to the total variance of its expiration.
  • Calculate the total variance for the first and the second expiration.
  • Calculate 30-day variance by interpolating the two variances, depending on the time to expiration of each.
  • Take the square root to get volatility as standard deviation.
  • Multiply the volatility (standard deviation) by 100.
  • The result is VIX.

The rest of this page explains individual steps in more detail.

Options Included in VIX Calculation

Expirations included

The data used for VIX calculation are bid and ask quotes of short term S&P500 options. Because the target time horizon for the VIX index is 30 days, two consecutive expirations with more than 23 days and less than 37 days are used. These can include the standard monthly expirations as well as weekly S&P 500 options.

The two expirations are referred to as “near-term” and “next-term”. As soon as the near-term options get less than 24 days to expiration, they are no longer used. The previously next-term expiration becomes the new near-term expiration and the next available expiration is added as the new next-term. This rollover happens every week.

Strike prices included

At the money and out of the money call and put options enter VIX calculation and only options which have non-zero bid are included. This is to eliminate illiquid far out of the money options which can imply extreme values of volatility and therefore distort the final VIX value. The selection of strikes goes from the at the money strike up (for calls) and down (for puts), until two consecutive strikes with zero bid price are found in each direction. No other options beyond such two consecutive zero bid strikes are included.

As a result, the range and the total number of options included in VIX calculation vary over time, in line with changes in S&P500 index value and changes in quotes on individual S&P500 options.

Only S&P500 option quotes directly from CBOE are used.

Parameters Used in VIX Calculation

Expected variance of each expiration month is derived from a set of option prices and strikes, given time to expiration and risk-free interest rate.

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect For Beginners and Middle-Leveled Traders!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Good Broker For Experienced Traders!

Time to expiration

The time to expiration for a particular option is calculated very precisely in minutes. The end of the period is the moment when the exercise-settlement value is being determined, which is the open (8:30 am Chicago time) on the settlement day for monthly S&P500 options (usually the third Friday of a month) and close of trading (3:00 pm) for weekly options.

Risk-free interest rate

The interest rate used in VIX calculation is the bond-equivalent yield of US T-bills which mature closest to the particular option expiration. Different interest rates may be used for the two different expirations which enter VIX calculation.

Contributions of Individual Options

The contribution of individual options to the calculation of total variance of an expiration depends on the option’s price, the strike price, and the average strike price increment of neighboring strikes. In general, at the money options influence the final result the most and the contributions decrease as you go further out of the money.

Getting the 30-day Variance from the Two Months

The 30-day variance is calculated by interpolating the total variances of the two expirations. The weights of the two variances depend on how close or far each expiration is from the desired 30-day mark (the closer, the greater weight). The sum of the weights was always 1.

Until October 2020 when only monthly expirations were used, if both expiration months had more than 30 days left (e.g. 32 and 67 days), the first month’s weight was greater than 1 and the second month’s weight was negative.

Calculating the VIX: Final Steps

Having calculated the 30-day variance, we then need to take the square root to transform variance into standard deviation (which is the traditional way how volatility is quoted and VIX is no exception).

The last step is to multiply the result by 100. While volatility usually is in percent, the VIX is volatility times 100. For example, if VIX is 22, it means that a hypothetical S&P500 option with 30 days to expiration has annualized implied volatility of 22%.

Old VIX Calculation Methods

22 September 2003 – 5 October 2020

Until October 2020, the VIX calculation used monthly options only. The rule was two nearest monthly expirations with at least one week left to expiration. For example, if the nearest expirations were in 4, 32, and 67 days, the front month (4 days to expiration) wouldn’t be included, and the next two months (32 and 67 days) would be used in VIX calculation. This was to eliminate options in the last days before expiration, whose prices sometimes behave in strange ways.

Once weekly S&P 500 options became liquid enough, it was logical for CBOE to start using them from 6 October 2020. This made the window around the 30 days target narrower and the calculation more precise.

The old version of the VIX using monthly options only is still being calculated and available under the symbol VIXMO.

Before 22 September 2003

Until September 2003 the VIX was calculated in an entirely different way, even using a different underlying:

  • Until September 2003 S&P100 (OEX) option prices were used. The current method uses S&P500 (SPX) options.
  • The old method used at the money options only. Under the new method, a wide range of strikes enters VIX calculation.
  • The exact way how volatility is derived from option prices is different. The old method used an option pricing model. The new method uses a direct formula.

As you can see, the change in 2003 was much more significant then the one in 2020. The pre-2003 method index is still being calculated and published by CBOE under the ticker symbol VXO. The two methods of course produce different index values, although the differences are not that big and the two indices (VIX and VXO) react to the same market conditions in a similar way.

Daily historical data is available starting from 1990 for the VIX, from 1986 for VXO (therefore VXO data covers the very interesting events of October 1987).

CBOE Volatility Index (VIX)

VIX is the ticker symbol for the CBOE Volatility Index. Since its introduction in 1993, the VIX index has quickly become the benchmark for stock market volatility. As volatility often goes hand-in-hand with financial turmoil, the VIX is also known as the “investor fear gauge”.

The VIX index is quoted as a percentage that represents an expected annual change of the S&P 500 index and it measures the market’s expectation of 30-day S&P 500 volatility as reflected in the prices of near term S&P 500 index options. As investors expect bigger movements, options tends to become more expensive. The VIX measures this price.

Hence, the primary use of the VIX volatility index is as an indicator to options traders as to when they should buy or sell options. When the VIX is low, it’s a good time to buy options as they are now relatively cheap. After the VIX has established its peak, one should sell options as they have become more expensive.

VIX Characteristics

Negative correlation to the S&P 500

According to data obtained from CBOE’s website, the VIX has moved opposite the underlying S&P 500 index (SPX) 88% of the time since 1990, with an average rise of 16.8% on days when the SPX drop 3% or more.

Known Trading Range

Another property of the VIX is that it trades within a given range of between 10 and 50. The VIX bottoms out at around 10. It can never reach zero as that would mean that the market expects no daily movement of the underlying S&P 500 index – which is an impossibility. For the VIX to stay above 50 requires large changes over an extended period of time – another near impossibility.

Trading the VIX

The VIX is not an asset but a statistic. Hence, you cannot buy or sell the VIX directly. To trade the VIX, you need to trade the VIX derivatives. To capitalize on the VIX’s unique properties, VIX options and futures can be used for hedging and speculation.

You May Also Like

Continue Reading.

Buying Straddles into Earnings

Buying straddles is a great way to play earnings. Many a times, stock price gap up or down following the quarterly earnings report but often, the direction of the movement can be unpredictable. For instance, a sell off can occur even though the earnings report is good if investors had expected great results. [Read on. ]

Writing Puts to Purchase Stocks

If you are very bullish on a particular stock for the long term and is looking to purchase the stock but feels that it is slightly overvalued at the moment, then you may want to consider writing put options on the stock as a means to acquire it at a discount. [Read on. ]

What are Binary Options and How to Trade Them?

Also known as digital options, binary options belong to a special class of exotic options in which the option trader speculate purely on the direction of the underlying within a relatively short period of time. [Read on. ]

Investing in Growth Stocks using LEAPS® options

If you are investing the Peter Lynch style, trying to predict the next multi-bagger, then you would want to find out more about LEAPS® and why I consider them to be a great option for investing in the next Microsoft®. [Read on. ]

Effect of Dividends on Option Pricing

Cash dividends issued by stocks have big impact on their option prices. This is because the underlying stock price is expected to drop by the dividend amount on the ex-dividend date. [Read on. ]

Bull Call Spread: An Alternative to the Covered Call

As an alternative to writing covered calls, one can enter a bull call spread for a similar profit potential but with significantly less capital requirement. In place of holding the underlying stock in the covered call strategy, the alternative. [Read on. ]

Dividend Capture using Covered Calls

Some stocks pay generous dividends every quarter. You qualify for the dividend if you are holding on the shares before the ex-dividend date. [Read on. ]

Leverage using Calls, Not Margin Calls

To achieve higher returns in the stock market, besides doing more homework on the companies you wish to buy, it is often necessary to take on higher risk. A most common way to do that is to buy stocks on margin. [Read on. ]

Day Trading using Options

Day trading options can be a successful, profitable strategy but there are a couple of things you need to know before you use start using options for day trading. [Read on. ]

What is the Put Call Ratio and How to Use It

Learn about the put call ratio, the way it is derived and how it can be used as a contrarian indicator. [Read on. ]

Understanding Put-Call Parity

Put-call parity is an important principle in options pricing first identified by Hans Stoll in his paper, The Relation Between Put and Call Prices, in 1969. It states that the premium of a call option implies a certain fair price for the corresponding put option having the same strike price and expiration date, and vice versa. [Read on. ]

Understanding the Greeks

In options trading, you may notice the use of certain greek alphabets like delta or gamma when describing risks associated with various positions. They are known as “the greeks”. [Read on. ]

Valuing Common Stock using Discounted Cash Flow Analysis

Since the value of stock options depends on the price of the underlying stock, it is useful to calculate the fair value of the stock by using a technique known as discounted cash flow. [Read on. ]

— Что такое Индекс непостоянства?

— Что такое Индекс непостоянства?
— Как рассчитывается Значение волатильности (VIX)
— Как торговать индексом изменчивости?
— Как читать значение индекса?

Индекс волатильности — англ. Volatility Index (VIX), создан Чикагской биржей опционов в 1993 и торгуется под тикером VIX. Он измеряет ожидание рынка относительно краткосрочной волатильности на основе изменения цен на опционы на фондовый индекс S&P 500.

Индекс волатильности VIX – это оценка предположений инвесторов по поводу волатильности или размаха движения фондового рынка. Проще говоря, значение индекса отражает уровень страха инвесторов по поводу динамики рыночных цен и помогает оценить панику либо излишний оптимизм толпы в отношении фондового рынка.

Образно индекс волатильности VIX можно представить в виде страховки – чем сильнее страх трейдеров, тем дороже они готовы платить за страховку (а значит VIX будет дорожать). Если участники рынка практически не испытывают страха по поводу будущего движения цен, то индикатор будет дешеветь.

Подразумеваемая волатильность является оценкой того, насколько измениться стоимость ценной бумаги за определенный период времени. Индекс волатильности VIX сконструирован на основе использования модели ценообразования опционов Блэка-Шоулза, чтобы вычислить подразумеваемую волатильность для ряда опционов на фондовый индекс.

Эти данные объединяются, чтобы дать полную оценку ожиданий рынка относительно волатильности в краткосрочной перспективе. Изначально VIX был сконструирован на базе индекса S&P 100, но в 2004 CBOE переключилась на индекс S&P 500, чтобы охватить более широкий сегмент всего рынка. Чтобы не нарушать принцип непрерывности, более старые расчеты (на базе индекса S&P 100) продолжают публиковаться под названием VXO.

Читайте также статью Индекс S&P 500.

Модель Блэка-Шоулза предполагает, что движения рынка могут быть выражены функцией нормального распределения вероятностей, более известной как кривая нормального распределения. Визуально индекс волатильности является мерой высоты и шириной профиля кривой. Низкий VIX подразумевает остроконечный профиль, а высокий – короткий и широкий. Математически индекс волатильности выражается в процентах с привязкой к определенному периоду. Например, если анализировались данные за год, а индекс равен 12,3%, то это означает, что цены на рынке в следующем году будут изменяться в пределах 12,3%.

Профессиональные трейдеры опционами обычно рассчитывают VIX и другую подразумеваемую волатильность как ежедневный процент. Поскольку они непрерывно корректируют свои позиции, в зависимости от условий рынка, самый большой риск для них возникает тогда, когда рынки закрыты, и корректировки не могут быть внесены. Индекс волатильности, рассчитанный как ежедневный процент, дает оценку того, насколько рынок может измениться между закрытием и следующим открытием. Ежедневный VIX можно рассчитать приблизительно, разделив годовой VIX на 16.

Значение индикатора онлайн можно увидеть на сайте Чикагской биржи опционов CBOE. Российский аналог данного инструмента – RTSVX.

Вам может быть интересна статья Индекс Доу-Джонса.

— Как рассчитывается Значение волатильности (VIX)

Показатель рассчитывает Чикагская торговая опционная биржа CBOE на основе данных по 8 контрактам S&P500, при его расчете используется формула Блэка-Шоулза. В настоящее время данным индексом можно спекулировать (возможным это стало благодаря появлению инструмента ETF – биржевой фонд), на бирже NYSE есть соответствующий фонд, позволяющий покупать и продавать данный инструмент.

— Как торговать индексом изменчивости?

При торговле индексом волатильности имеем в виду, что VIX — это показатель ожиданий рынка в краткосрочной перспективе (горизонт 30 дней). Индекс растёт при всплесках неопределённости или страха и падает, когда рынок вновь обретает уверенность. Для торговли волатильностью важно, что VIX рассчитывается на основе волатильностей множества опционов на акции индекса S&P 500. Для Nasdaq 100 аналогом является VXN, а для Dow Jones Industrial Average — VXD.

Инвестициями в показатели изменчивости рынка обычно хеджируем вложения в акции фондовых индексов. Если ожидаемая волатильность рынка увеличивается, инвесторы требуют более высокой доходности, и котировки бумаг снижаются.

Если же у биржи появляются перспективы снижения изменчивости, требуемая прибыльность идёт вниз, и акции дорожают. Сигнал VIX подтверждается индикатором Up/Down Volume (DVOL) — отношением объёма торгов растущими акциями к объёму торгов падающими бумагами.

Одновременное повышение VIX и DVOL сигнализирует о приближении падения рынка.

Одновременное снижение этих показателей принято рассматривать как признак роста.

При разнонаправленном движении VIX и DVOL бирже светит боковой тренд.

Торговать VIX можно через покупку фьючерсов на VIX, опционов на них, фондов UVXY, TVIX, VIXY, VXX и VIXM. Плюс фьючей в том, что VIX растёт быстрее, чем падает, поэтому есть много возможностей для фиксации прибыли. Включение VIX в стратегии инвестирования в S&P значительно улучшает соотношение риска и прибыли. Минус в том, что фьючи дороже опционов и в основном менее рентабельны, чем повторяющие их биржевые векселя (ETN).

Возможно, вас заинтересует статья «Consumer Price Index, CPI«.

На лето закупаемся опционами на фьючерсы по VIX, потому что стоимость контракта здесь в 10 раз дешевле. Сделки в плюсе в том случае, если значение VIX превышает цену исполнения опциона плюс премия за риск. Стратегии торговли опционами на фьючи по индексу волатильности, в целом, такие же, как и по опционам в целом.

Чтобы строго соблюдать 30-дневный срок, расчёт по ним производится в среду за 30 дней до третьей пятницы следующего календарного месяца. Так как опционы на VIX — европейские, их стоимость вычисляется не на основе модели Блэка-Шоулза (стоит ли по ней торговать — можно почитать здесь), а из ожиданий относительно цены фьючерса в краткосрочной перспективе.

Большинство инструментов на основе VIX — это биржевые векселя инвестбанка или коммерческого банка. Инвесторы дают взаймы банку, который обещает выплатить ссуду, в зависимости от доходности по базовому индексу волатильности. Биржевые векселя могут существенно потерять в стоимости в случае понижения рейтинга банка или признания его неплатёжеспособности.

Индекс ProShares Ultra VIX Short-Term Futures (Nyse Arca: UVXY) пытается вдвое превысить доход от индекса VIX в течение следующих 30 дней; аналогичный фонд Credit Suisse — VelocityShares Daily 2x VIX ST ETN (NYSE Arc: TVIX). ProShares Short VIX Short-term Futures Index (VIXY) нацелен на получение такого же дохода, как индекс VIX; похожий фонд для среднесрочного индекса — VIX Mid-Term Futures ETF (VIXM). iPath S&P 500 VIX ST Futures ETN (NYSE Arca: VXX) заменяет длинную позицию по ближайшему и следующему фьючерсам на VIХ.

Узнайте о индексе доллара (DXY)!

— Как читать значение индекса?

Данный индикатор говорит о степени волнения опытных инвесторов, и дает возможность со стороны увидеть то, что происходит внутри самой Чикагской биржи. Увидев первые признаки панических настроений, стоит скупать акции. Когда индекс высок, на рынке преобладает страх.

Смело можно продавать бумаги при низком уровне индекса, когда никто особо не обращает внимания на рынок. Инвесторы, убежденные в собственном умственном превосходстве, наслаждаются жизнью и бездействуют, у них нет проблем, и они не предпринимают никаких действий по изменению своих портфелей – пока трейдеры расслаблены и отдыхают, следует продавать акции.

Таким образом, индекс волатильности VIX дает возможность трейдерам действовать против толпы и раньше остальных находить разворотные точки на графиках цен, поэтому перед принятием торгового решения следует оценить значение этого инструмента.

Вам может быть интересна статья «Волатильность что это?».

How-to: Что такое Russian Volatility Index и как он рассчитывается

Примечание: Данный текст публикуется в рамках эксперимента — в нашем блоге мы осветили уже довольно большое количество вводных теоретических аспектов фондового рынка. Сегодня мы попытаемся «перейти на следующий уровень» и поговорить о более глубокой и сложной теме — индексах волатильности, в частности, подобного индекса для российского рынка.

16 апреля 2020 года Московская Биржа запустила расчет и публикацию нового индекса волатильности российского рынка — индекса RVI.

В пресс-релизе биржи по случаю запуска индекса RVI указано, что новый индекс позволяет оценить уровень волатильности российского рынка, а также расширяет финансовые возможности опционных трейдеров, хеджеров и институциональных инвесторов.

Индекс RVI рассчитывается согласно пяти основным принципам:

  1. Индекс рассчитывается для получения значений тридцатидневной волатильности;
  2. Расчет осуществляется на основе двух серий опционов на фьючерс на Индекс РТС, а именно: опционы ближайшей и следующей серий, входящие в квартальную или месячную серии, но не входящие в недельную серию, срок до даты экспирации которых включительно составляет более 7 дней;
  3. В расчет индекса также входят котировки фьючерсов, являющихся базовым активом опциона ближайшей серии и опциона следующей серии.
  4. В случае отсутствия котировок и сделок предусмотрена возможность расчета Индекса RVI по теоретической цене опциона, определяемой на основании котировки фьючерса, являющегося базовым активом такого опциона, и кривой волатильности на момент расчета;
  5. Индекс рассчитывается каждые 15 секунд в течение основной и вечерней торговых сессий на Срочном рынке (с 10:00 до 18:45 и с 19:00 до 23:50 мск).

Согласно «Методике расчета Индекса волатильности российского рынка», утвержденной решением Правления ОАО Московская Биржа (Протокол №24 от 11 апреля 2020 г.), индекс RVI рассчитывается по формуле:

Т365 – 365 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т30 – 30 дней в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т1 – время до даты экспирации ближайшей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
Т2 – время до даты экспирации следующей серии опционов включительно в долях от календарного года (год = 365 дней);
σ1 – подразумеваемая волатильность ближайшей серии опционов;
σ2 – подразумеваемая волатильность следующей серии опционов.

Волатильности ближайшей и следующей серий опционов определяются уравнениями:

ΔKi – шаг страйка (в целях расчета Индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
Т1 – время до даты экспирации опциона ближней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
Т2 – время до даты экспирации опциона дальней серии включительно в долях от календарного года (год = 365 дней). Изменяется каждые 15 секунд;
Ki – i-й страйк. При этом (в целях расчета Индекса используются основные страйки, промежуточные страйки не используются);
F1, F2– котировки фьючерсных контрактов, являющихся базовым активом опциона ближайшей серии и опциона следующей серии соответственно.

Котировка фьючерсного контракта равна либо цене последней сделки, либо цене лучшей активной заявки на продажу, которая меньше цены последней сделки, либо цене лучшей активной заявки на покупку, которая больше цены последней сделки в текущий момент. В случае если сделок в текущей сессии до момента расчета котировки фьючерсного контракта не было, используется среднеарифметическое значение между ценами лучшей активной заявки на покупку и лучшей активной заявки на продажу. Если на момент расчета активные заявки на покупку и активные заявки на продажу отсутствуют, используется расчетная цена, определенная по итогам ближайшего предыдущего расчетного периода.
Pr(Ki) – стоимость опциона для i-го страйка, определяемая по определенному алгоритму [1].

Подробно с методикой расчета индекса RVI можно ознакомиться на сайте Московской Биржи в разделе «Индексы/Индекс волатильности». К сожалению там вы не найдете ссылок на ресурсы, объясняющие каким образом получены указанные выше формулы, и какой они несут экономический смысл. Для поиска первоисточников обратимся к методике расчета индекса волатильности Чикагской Биржи CBOE — VIX.

The CBOE Volatility Index — VIX

В 1993 году Chicago Board Options Exchange (CBOE) начала рассчитывать и публиковать значения CBOE Volatility Index (VIX). Данный индекс волатильности был создан для оценки рыночных ожиданий относительно 30-дневной волатильности и рассчитывался с использованием рыночных цен at-the-money опционов на S&P 100 Index (OEX). Спустя 10 лет в 2003 году CBOE совместно с Goldman Sachs обновила методику расчета VIX. Новый VIX основан на S&P 500 Index (SPX) и оценивает ожидаемую волатильность с помощью усреднения цен опционов на SPX, выбранных по широкому списку страйков с определенными весами. Позволяя выражать показатель волатильности через портфель SPX опционов, новая методология трансформировала VIX из абстрактной концепции в практический стандарт торговли и хеджирования волатильности.

В марте 2004 года CBOE выводит на биржу первый фьючерсный контракт на VIX. Двумя годами позже в феврале 2006 CBOE запускает VIX опционы, самый успешный продукт в истории биржи [2].

Напомню, что Московская Биржа в лице Романа Сульжика в апреле текущего года сообщила, что планирует этим летом запустить фьючерсный контракт на индекс волатильности RVI. Будем надеяться, что это произойдет в заявленные сроки, и что новый продукт будет востребован рынком.

Обобщенная формула для расчета VIX имеет вид:

σ – VIX/100;
T – время до экспирации (в годах);
F – цена форварда на индекс S&P 500, получаемая из цен опционов SPX;
K0 – страйк ближайший снизу к цене форварда на индекс;
Ki – страйк i-го out-of-the-money опциона call, если Ki > K0, или put, если Ki 2 1 и sigma 2 2 по формуле (4). Далее находится их 30-дневное взвешенное среднее по формуле:

Сопоставив формулы (1 — 3) и (4 — 5) между собой, приходим к выводу, что индекс волатильности Московской Биржи RVI является точной копией индекса Чикагской опционной биржи VIX. Отличие RVI от VIX лишь в отсутствии фактора роста e RT , а также в способе определения опционов, участвующих в расчетах, и их цен. Первое следует из того, что в расчетах индекса RVI участвуют опционы на фьючерсный контракт, а не equity актив как у VIX. Последнее, вероятно, продиктовано низкой ликвидностью российского опционного рынка.

Документ CBOE [2], раскрывающий методику расчета VIX, содержит ссылку на материалы компании Goldman Sachs [3], в которых приводится описание способов оценки Volatility Swap и Variance Swap. Математика VIX тесно переплетена с математикой прайсинга свопов волатильности. И это не случайно, т.к. новый VIX (запущенный в 2003 г.) разрабатывался CBOE совместно с инвестиционным банком Goldman Sachs. Последний в свою очередь активно продвигал торговлю свопами на волатильность — в 1999 году была опубликована знаменитая статья «More than you ever wanted to know about volatility swaps», в которой авторы — количественные аналитики из Goldman Sachs дали описание методики оценки стоимости этих свопов. Идея создать индекс волатильности, привязанный к реальному инструменту, денежный поток которого напрямую зависит от этой волатильности, оказалась весьма успешной — фьючерсы и опционы на VIX приобрели большую популярность среди инвесторов.

Variance Swap

Как отмечено выше, методика расчета индекса VIX тесно связана с теорией свопов волатильности. Основой данного класса финансовых инструментов является понятие Variance Swap. Variance Swap (VS) — это форвардный контракт на годовую дисперсию (variance), квадрат реализованной волатильности (realized volatility). Формула выплаты на экспирацию по данному свопу описывается формулой:

σ 2 R — реализованная дисперсия акции, фьючерса, индекса и т.п., указанная в годовом выражении, за период обращения контракта;
Kvar — цена поставки контракта;
N — номинал свопа на единицу годовой дисперсии.

Владелец VS при экспирации контракта получит N долларов за каждый пункт, на который реализованная дисперсия σ 2 R превысит цену поставки Kvar. Поэтому справедливое значение дисперсии (по мнению рынка) равно цене поставки VS, при которой стоимость свопа будет нулевой. Справедливое значение дисперсии в данном контексте служит хорошим ориентиром для значения индекса волатильности VIX. Таким образом, методику оценки стоимости VS можно применять и в расчетах VIX.

Оценка стоимости VS производится с помощью стратегии репликации свопа через портфель опционов. В основе данной стратегии лежит понятие log-контракта — экзотического опциона на акцию (индекс, фьючерс и т.п.), хеджирование которого обеспечивает выплату эквивалентную дисперсии доходностей цен этой акции. Log-контракт в свою очередь может быть реплицирован через портфель ванильных опционов на тот же базовый актив. Это дает возможность выразить стоимость VS через цены опционов.

Обозначим V показатель чувствительности цены опциона CBS к дисперсии базового актива σ 2 (назовем его Variance Vega), определяющий на сколько изменится цена опциона в случае изменения дисперсии его базового актива:

На Рисунке 1 представлены графики изменения показателя Variance Vega для опционов с различными страйками в зависимости от цены базового актива (левая часть), а также графики Variance Vega портфелей, состоящих из этих опционов (правая часть).

Рис. 1: Variance Vega портфелей call опционов с различными страйками как функция цены базового актива. Каждый график слева показывает вклад отдельного опциона в V портфеля. Соответствующий ему график справа показывает сумму этих вкладов, взвешенных двумя способами: штриховая линия — с равными весами, сплошная линия — с весами обратно пропорциональными квадрату страйка. Число опционов увеличивается, а расстояние между страйками уменьшается от верхнего графика к нижнему

Таким образом, Variance Vega портфеля, состоящего из опционов всех страйков, взвешенных обратно пропорционально квадрату страйка, не зависит от цены базового актива. Это как раз то, что нужно для торговли дисперсией. Как выглядит подобный портфель опционов, и каким образом торговля этим портфелем зависит от дисперсии базового актива?

Рассмотрим портфель П(S, σ, τ) , состоящий из опционов со всеми страйками K с одинаковым сроком до экспирации τ , взвешенными обратно пропорционально квадрату K . В виду того, что out-of-the-money опционы, как правило, более ликвидны, будем использовать put опционы P(S, K, σ, τ) для страйков K , принимающих значения от 0 до некоторой ориентировочной цены S*, и call опционы C(S, K, σ, τ) для страйков от S* до бесконечности. Цену S* можно рассматривать как at-the-money уровень форварда на базовый актив (или цену фьючерса) со сроком τ , обозначающий границу между ликвидными put и call опционами.

В момент экспирации, когда t=T, можно показать, что суммарная выплата всех опционов указанного выше портфеля равна:

Аналогично, в момент времени t, просуммировав все цены опционов, стоимость портфеля составит:

Variance Vega данного портфеля:

Чтобы получить начальную Variance Vega в размере $1 на единицу квадрата волатильности необходимо открыть (2/T) единиц портфеля. Примем за П стоимость нового портфеля:

Первое слагаемое в выплате по портфелю из формулы (11) описывает 1/S* форвардных контрактов на акцию с ценой поставки St. Это не опцион, это линейный актив, который может быть статически захеджирован, один раз и на весь период, без каких либо оценок волатильности акции. Второе слагаемое log(S*/St) описывает короткую позицию по log-контракту с расчетной ценой S*. Хеджирование данного контракта зависит от волатильности акции. Таким образом, чувствительность портфеля к волатильности базового актива полностью содержит в себе log-контракт.

Предположим, что динамику цен базового актива можно описать с помощью уравнения:

Для упрощения предположим также, что дивиденды по акциям не начисляются.
Формула для дисперсии случайного процесса имеет вид:

Процедура оценки свопа ничем не отличается от процедуры оценки любого другого производного инструмента. Стоимость форвардного контракта F на будущую реализованную волатильность со страйком K равна ожидаемой выплате в текущих ценах под риск нейтральной мерой:

r — безрисковая ставка, соответствующая времени T;
E — математическое ожидание.

Справедливой стоимостью будущей реализованной дисперсии является страйк Kvar, для которого текущая стоимость контракта равна нулю:

Используя формулы (13) и (15), получаем формулу для вычисления справедливой стоимости дисперсии:

Применив лемму Ито для log St, находим:

Вычитая (17) из (12), получаем:

Просуммировав (18) от 0 до T, получаем:

Данное тождество определяет стратегию репликации дисперсии. Первое слагаемое в скобках соответствует финансовому результату от непрерывной ребалансировки позиции в акциях таким образом, что стоимость 1/St акций в любой момент времени составляет $1. Второе слагаемое представляет собой статичную короткую позицию в контракте, выплата по которому на экспирацию составляет логарифм доходности акции за период.

Формула (19) предлагает метод вычисления справедливой стоимости дисперсии. При этом риск-нейтральное ожидаемое значение правой части формулы представляет собой стоимость репликации:

Ожидаемое значение первого слагаемого в скобках в формуле (20) составляет стоимость ребалансировки портфеля, состоящего из 1/St. В риск-нейтральном мире с постоянной безрисковой ставкой цена хеджирования такого портфеля составит:

Второе слагаемое — это log-контракт. В виду того, что не существует подобного свободно торгующегося контракта, для воспроизведения выплат по нему необходимо выделить из его профиля выплат на экспирацию линейную и нелинейную части и реплицировать каждую отдельно. Линейную часть можно продублировать с помощью форвардного контракта на акцию со сроком T , оставшуюся нелинейную часть — с помощью ванильных опционов со сроком экспирации T .

Для определения границы между ликвидными put и call опционами введем параметр S*, обозначающий эту границу. Выплату по log-контракту представим в виде:

Второе слагаемое в правой части (22) — это константа, не зависящая от финальной цены акции ST, следовательно, должно быть реплицировано только первое слагаемое. Как его повторить известно из формулы (8) — это форвардный контракт плюс портфель опционов с весами обратными квадрату величины страйка:

Справедливое значение будущей дисперсии может быть связано с начальным справедливым значением каждого слагаемого в формуле (21). Используя равенства (21) и (23), получаем:

где P(K) и C(K) означают, соответственно, текущие справедливые цены put и call опционов со страйком K. Если используются текущие рыночные цены опционов, получается текущая рыночная оценка будущей дисперсии. Именно эта формула лежит в основе расчета индекса волатильности VIX.

Формула (4) —это дискретная копия формулы (24), из которой убраны первые три слагаемых (вероятно, для упрощения). Определенные интегралы представлены в виде соответствующих сумм. Последнее слагаемое в формуле (4) — это элемент корректировки в случаях, когда цена форварда F не совпадает с центральным страйком K0.

Заключение

В основе расчета индекса волатильности российского рынка RVI лежит методика вычисления индекса волатильности VIX Чикагской биржи. Согласно данной методике значение индекса представляет собой взвешенное среднее волатильностей двух опционных серий. Данное усреднение предполагает, что в результате получится значение волатильности, соответствующее 30-дневному периоду. Методика расчета волатильности для каждой опционной серии, участвующей в расчетах VIX (и RVI), основывается на теории оценки свопов волатильности, подробно описанной в [3]. Моделирование справедливой стоимости свопа волатильности имеет ряд допущений, одно (и основное, по мнению автора) из них — это то, что динамика цен представляет собой геометрическое броуновское движение, т.е. непрерывный процесс без скачков (jumps). Это допущение может послужить причиной недооценки волатильности индексами VIX и RVI.

Best Binary Options Brokers 2020:
  • Binarium
    Binarium

    The Best Binary Options Broker 2020!
    Perfect For Beginners and Middle-Leveled Traders!
    Free Demo Account!
    Free Trading Education!
    Get Your Sign-Up Bonus Now!

  • Binomo
    Binomo

    Good Broker For Experienced Traders!

Like this post? Please share to your friends:
Binary Options Trading: Brokers Reviews
Leave a Reply

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: